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高一数学不等式的证明1

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不等式的证明

上帝是一个几何学家,他按照几何的 模式来创造了世界.
柏拉图

数学更高的价值在于培养纯粹的思维能 力,启发人们向往理念的端倪;便于将灵 魂从变化世界转向真理的实在.
柏拉图 《理想国》

世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹, 这个逻辑体系如此精密地一步步* 以至它的每个命题都是绝对不容置疑 的…
——爱因斯坦

不等式的证明方法简介
1、比较法:作差比较与作商比较
2、综合法:利用某些已经证明过的不等式 和不等式的性质推导出所要证明的不等式 成立的方法。
3、分析法:从要求证的不等式出发,分析 这个不等式成立的充分条件,把证明不等 式转化为判定这些充分条件是否具备的问 题,即由果上索因。

4、函数性质法(如函数单调性等) 5、放缩法 6、构造法(构造几何图形、方程或函数等) 7、反证法

已知:a,b, m ? R ? , a ? b, 求证: a ? a ? m
b b?m

证明1: 设

f (x) ? a ? x ? a ? b ? (b ? x) ? 1? a ? b .

b?x

b?x

b?x

?b ? a ? 0,?a ? b ? 0,

? f (x)在 [0,??) 上是增函数,

? 当 m ? 0 时,有 f (m) ? f (0),

即 a?m ? a
b?m b

(构造函数法)

练*:若 x ? 0, y ? 0, 且
x ? y ? 1,
求证: (x ? 1 )( y ? 1 ) ? 25
x y4

证明:(x ? 1)( y ? 1 ) ? ? ? xy ? 2 ? 2

xy

xy

易证函数 f (t) ? t ? 2 在 (0, 1]

t

4

上单调递减。则

f

(t ) m in

?

25 4

证明2:
a?m b?m

?

a ? m ?1

bb 1? m

,

b

?a?m b?m

分a
b

与1为定比

?

?

m b

?

0,



a?m b?m



a b

与1之间,

? a ? a ? m ? 1. b b?m

(构造公式法)

证明3:如图,作 CD // AB使CD ? a, AB ? b,
连结AC、BD相交与O,延长CD到F,
DF ? m, 连接OF交AB的延长线与E。

? CD // AB, ? CF ? OC ? CD ,

AE OA AB

即 a ? m ? a . 又 m ? OD ? a ? 1,

b ? BE b

BE OB b

?BE ? m

?a?m ? a b ? m b.

(构造几何图形)

练*:若 f (x) ? 1? x2 , a ? b, 则
f (a) ? f (b) ? a ? b.

证明:如图,设A(1,a),B(1,b),

则 OA ? 1 ? a2 ,

y

OB ? 1 ? b2 ,

A

AB ? a ? b,

O

OA ? OB ? AB,

x B

? f (a) ? f (b) ? a ? b.

证明:? 2ab ? a2 ? b2
1? ab ? 1? a2 1? b2
1 ? a2b2 ? 2ab ? 1? a2 ? b2 ? a2b2 (1 ? ab)2 ? 1 ? a 2 ? b2 ? a 2b2
( 1? a2 ? 1? b2 )2 ? (a ? b)2
? f (a) ? f (b) ? a ? b.
(综合法)

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