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高中数学 第2课时《集合的表示》教案(教师版) 苏教版必修1

发布时间:

第二课时 集合的表示

听课随笔

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集合的表示

列举法

描述法
学*要求 1.集合的表示的常用方法:列举法、 描述法; 2.初步理解集合相等的概念,并会 初步运用, 3.培养学生的逻辑思维能力和运算能 力.
【课堂互动】 自学评价 1. 集合的常用表示方法: (1)列举法
将集合的元素一一列举出来,并________ ____________表示集合的方法叫列举法. 注意: ①元素与元素之间必须用“,”隔开; ②集合的元素必须是明确的; ③各元素的出现无顺序; ④集合里的元素不能重复; ⑤集合里的元素可以表示任何事物. (2)描述法
将集合的所有元素都具有性质( )表示出来,写成_________的形式,
称之为描述法. 注意: ①写清楚该集合中元素满足性质; ②不能出现未被说明的字母; ③多层描述时,应当准确使用“或”,“且”; ④所有描述的内容都要写在集合的括号
内; ⑤用于描述的语句力求简明,准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗? 【答】
文字描述法:是一种特殊的描述法, 如:{正整数},{三角形}
图示法(Venn 图):用*面上封闭曲线 的内部代集合.
2. 集合相等 如果两个集合 A,B 所含的元素完全相同, ___________________________________

则称这两个集合相等,记为:_____________ 【精典范例】 一、用集合的两种常用方法具体地表示 集 合 例 1.用列举法表示下列集合: (1)中国国旗的颜色的集合; (2)单词 mathematics 中的字母的集合; (3)自然数中不大于 10 的质数的集合;

(4)同时满足

?2x ??1?

? x

4 ?

? 0 的整数解的 2x ?1

集合;
(5)由 | a | ? | b | (a, b ? R) 所确定的实数 ab
集合. (6){(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N } 分析:先求出集合的元素,再用列举法
表示. 【解】

(1){红,黄};
(2){m,a,t,h,e,i,c,s }; (3){2,3,5,7 }; (4){-1,0,1,2}; (5){-2,0,2}; (6){(0,8),(2,5),(4,2)} 点评: (1)用列举法表示集合的步骤为:
①求出集合中的元素 ②把这些元素写在花括号内 (2)用列举法表示集合的优点是元素一目了 然;缺点是不易看出元素所具有的属性. 例 2.用描述法表示下列集合: (1)所有被 3 整除的整数的集合;

(2)使 y ? 2 ? x 有意义的 x 的集合; x
(3)方程 x2+x+1=0 所有实数解的集合; (4)抛物线 y=-x2+3x-6 上所有点的集合;
(5)图中阴影部分内点的集合;

y

1

-1

o

2

x

-1

分析:用描述法表示来集合,先要弄清楚元 素所具有的形式,从而写出其代表元素再确 定元素所具有的属性即可. 【解】
(1){x|x=3k,k∈Z}
(2){x|x≤2 且 x≠0 }
(3) ?
(4){(x,y)| y=-x2+3x-6}

(5){(x,y)|

?0 ? x ? 2 ??0 ? y ? 1



?0 ? x ? 2 ??0 ? y ? 1
点评: 用描述法表示集合时,注意确定和简 化集合的元素所具有的共同特性.
追踪训练一 1.用列举法表示下列集合:
(1) {x|x2+x+1=0}
(2){x|x 为不大于 15 的正约数}

(3) {x|x 为不大于 10 的正偶数}

(4){(x,y)|0≤x≤2,0≤y<2,x,y∈Z}

2. 用描述法表示下列集合:

(1) 奇数的集合;

(2)正偶数的集合; (3)不等式 2x-3>5 的解集;

(4)直角坐标*面内属于第四象限的点的

集合;

.

3. 下列集合表示法正确的是

(1) {1,2,2};

(2) {Ф }; (3) {全体有理数};

(4)

方程组

? ? ?

x? 2x

3y ? 14 ?y?0

的解的集合为

{2,4}; (5)不等式 x2-5>0 的解集为{x2-5>0}.
例 3.已知 A={a| 6 ? N, a ? Z }, 3?a
试用列举法表示集合 A. 分析:用列举法表示的集合,要认清集合
的实质,集合中的元素究竟满足哪

些条件. 【解】

当 a=2 时, 6 ? 6 ? 6? N 3?a 3?2
当 a=1 时, 6 ? 6 ? 3? N 3? a 3?1
当 a=0 时, 6 ? 6 ? 2? N 3?a 3?0
当 a=-1 时, 6 ? 6 ? N 3?a 3?1
当 a=-2 时, 6 ? 6 ? N 3?a 5
当 a=-3 时, 6 ? 6 ? 1? N 3?a 6
∴ A={2,1,0,-3}
点评:本题实际上是要求满足 6 被 3-a 整除的

整数 a 的值,若将题目改为 6 ? Z , 3?a
则集合 A={-3,0,1,2,4,5,6,9}.
二、有关集合相等方面的问题 例 4.已知集合 P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2}, 且 Q=P,求 1+a2+b2 的值. 分析:含字母的两个集合相等,并不意味着 按序对应相等,要分类讨论,同时也 要考虑集合中的元素的互异性和无序 性.
【解】 分两种情况讨论:①

??a ? ??b

? ?

a2 b2

?

?a ??b

? ?

1或 0

?a ??b

?0 ?1

? 1+a2+b2=2



??a ? ??b

? ?

b2 a2

?

?a ??b

? ?

0或 0

?a ??b

?1 ?1

的性质矛盾,

∴ 1+a2+b2=2

这与集合

追踪训练

1.集合 A={x|y=x2+1},B={t|p=t2+1}

C={y|x = 3 ? 4 y2 },这三个集合

的关系?

2.已知 A={x| 12 ? N, x ? N },试用列举 6?x
法表示集合 A.

思维点拔:



5.

已知集合

B={x|

x?a x2 ? 2

? 1}有唯一元

听课随笔

素,用列举法表示 a 的值构成的集合 A.

点拔:

本题集合

B={x|

x?a x2 ? 2

?

1 }有唯一元素,同

学们*惯上将分式方程去分母,转化为一元

二次方程的判别式为 0,事实上当 a= ? 2
时,也能满足唯一元素,但方程已不是一元 二次方程,而是一元一次方程,也有唯一解, 所以本题要分三种情况讨论 .
【解】 当 x2-2≠0 时,x+a=x2+a

⊿=0 ?a=- 9 ,此时,x= 1 ,符合题意,

4

2

当 a= 2 时,x= 2 ?1,符合题意,

当 a=- 2 时,x=1? ∴ A={ ? 9 , 4
【师生互动】

2 ,也符合题意, 2 ,- 2 }

学生质疑

教师释疑




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