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计量经济第十六章 ARCH和GARCH估计

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第十六章 ARCH 和 GARCH 估计
本章讨论的工具是建立变量的条件方差或变量波动性模型。自回归条件异方差 ((Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH) 模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型由 Engle(1982)提出,并由 Bollerslev(1986)发展成为 GARCH(Generalized ARCH)——广义自回归条 件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。

§ 16.1 ARCH 的说明
ARCH 的主要思想是时刻 t 的 ε 的方差(= σ 2)依赖于时刻(t ─ 1)的*方误差的大小,即依赖于 ? t2?1 。
Yt ? ? 0 ? ? 1 X 1 t ? ? ? ? ? k X
k t

? ?t

(1)

并假设在时刻(t-1)所有信息的条件下,干扰项的分布是:
? t ~ N ?0 , (? 0 ? ? 1 ? t ? 1 ) ?
2

(2)

即 ? t 遵循以 0 为均值, (? 0 ? ? 1 ?

2 t ?1

) 为方差的正态分布。 由于 (2) 中的 ? t 的方差依赖于前期的*方干扰,

我们称它为 ARCH(1)过程。然而,容易加以推广,一个 ARCH (p)过程可以写为:
var( ? t ) ? ?
2 t

? ? 0 ? ? 1 ? t ?1 ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ? ? ? p ? t ? p
2 2 2
p

(3)
? 0 。这时 var( ? t ) ? ?
2

如果误差方差中没有自相关,就会有 H0: ? 1 ? ? 2 ? ? ? ?

? ? 0 ,从而得

到误差方差的同方差性情形。恩格尔曾表明,容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设:
? ? ? ? ?? t ? ? 0 ? ? 1 ? t ? 1 ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ? ? ? p ? t ? p
2 2 2 2

(4)

其中, ?? t 表示从原始回归模型(1)估计得到的 OLS 残差。

一、GARCH(1,1)模型
在标准化的 GARCH(1,1)模型中:
yt ? xt? ? ? t

(16.1)
2 t ?1

?

2 t

? ? ? ??

? ??

2 t ?1

(16.2)
2 t

(16.1) 中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。 由于 ? 是以前一期的信息为基础的预测方 差,所以它被叫做条件方差。 (16.2)中给出的条件方差方程是一个下面三项的函数: 1.均值: ? ; 2.用均值方程的残差*方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息: ? t ? 1 (ARCH 项) ;
2

3.上一期的预测方差: ? t ?1 (GARCH 项) 。
2

GARCH (1, 1) 中的(1, 1)是指阶数为 1 的 GARCH 项(括号中的第一项)和阶数为 1 的 ARCH 项(括号中 的第二项) 普通的 ARCH 模型是 GARCH 模型的特例,即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明。 。

二、ARCH—M 模型
方程(16.1)中的 x 代表在均值方程中引入的外生或先决变量。如果我们把条件方差引进到均值方程 中,就可以得到 ARCH—M 模型(Engle,Lilien,Robins,1987):
y t ? x t?? ? ??
2 t

? ?t

(16.9)

ARCH—M 模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差。 ARCH—M 模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数
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是风险收益交易的度量。

三、GARCH(p,q)模型
高阶 GARCH 模型可以通过选择大于 1 的 p 或 q 得到估计,记作 GARCH(p, q)。其方差表示为:
?t ?? ?
2

??
i ?1

q

i

? t?i ?
2

??
j ?1

p

j

? t ? j.
2

(16.10)

这里,p 是 GARCH 项的阶数,q 是 ARCH 项的阶数。

§ 16.2 在 EViews 中估计 ARCH 模型
估计 GARCH 和 ARCH 模型, 首先通过 Object/New Object/Equation Equation 建立方程, 然后在 Method 的下拉菜单中选择 ARCH,即得到相应的对话框。 一、均值方程 均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果需要一个更复杂的 均值方程, 可以用公式的形式输入均值方程。 如果含有 ARCH—M 项, 就要点击对话框右上方对应的按钮。 二、 方差方程 在 Variance Regressors 栏中, 可以选择列出要包含在指定方差中的变量。 注意到 EViews 在进行方差回归时总会包含一个常数项作为回归量,所以不必在变量表中列出 C。 三、ARCH 说明 在 ARCH Specification 标栏下,选择 ARCH 项和 GARCH 项的阶数。Eviews 默认 为选择 1 阶 ARCH 和 1 阶 GARCH 进行估计, 这是目前最普遍的形式。 标准 GARCH 模型, 需点击 GARCH 按钮。其余的按钮将进入更复杂的 GARCH 模型的变形形式。 四、估计选项 点击 Options 按钮选择估计方法的设置: 1.回推 在缺省的情况下,MA 初始的扰动项和 GARCH 项中要求的初始预测方差都是用回推方法来 确定初始值的。如果不选择回推算法,EViews 会设置残差为零来初始化 MA 过程,用无条件方差来设置 初始化的方差和残差值。 2. 系数协方差 点击 Heteroskedasticity Consistent Covariances 用 Bollerslev 和 Wooldridge(1992)的 方法计算极大似然 (QML) 协方差和标准误差。 如果怀疑残差不服从条件正态分布, 就应该使用这个选项。 只有选定这一选项,协方差的估计才可能是一致的,才可能产生正确的标准差。注意如果选择该项,参数 估*遣槐涞模谋涞闹皇切讲罹卣 4.迭代估计控制 ARCH 模型的似然函数不总是正规的,所以用默认的设置进行估计可能不会收敛。 这时,可以利用选项对话框来选择迭代算法(马尔科夫、BHHH/高斯-牛顿) 、改变初值、增加迭代的最大 次数或者调整收敛准则。 5.ARCH 估计的结果 可以分为两部分:*氩糠痔峁┝司捣匠痰谋曜冀峁幌掳氩糠郑础胺讲 方程” 包括系数, 标准误差, z—统计量和方差方程系数的 p 值。 在方程中 ARCH 的参数对应于 ? , GARCH 的参数对应于 ? 。在表的底部是一组标准的回归统计量,使用的残差来自于均值方程。注意如果在均值方 程中不存在回归量,那么这些标准,例如 R 2 也就没有意义了。

§ 16.3 ARCH 模型的视图和方法
一旦模型被估计出来,EViews 就会提供各种视图和方法进行推理和诊断检验。

一、ARCH 模型的视图 在方程和检验的章节已做介绍。 二、ARCH 模型的方法
1.构造残差序列 将残差以序列的名义保存在工作文件中,可以选择保存普通残差 ? t 或标准残差
? t ? t 。残差将被命名为 RESID1,RESID2 等等。可以重新命名序列残差。
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2.构造 GARCH 方差序列 将条件方差 ? t2 以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名 为 GARCH1,GARCH2 等等。取*方根得到如 View/Conditional SD Gragh 所示的条件标准偏差。 3.预测 使用估计的 ARCH 模型计算因变量的静态的和动态的预测值,它的预测标准误差和条件方 差。为了在工作文件中保存预测值,要在相应的对话栏中输入名字。

§ 16.4 非对称 ARCH 模型
在市场中我们经常可以看到向下运动通常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。为了解释这 一现象,Engle 和 Ng(1993)描述了如下形式的对好消息和坏消息的非对称信息曲线。

一、TARCH 模型
TARCH 或者门限(Threshold)ARCH 模型由 Zakoian(1990)和 Glosten,Jafanathan,Runkle(1993)独立 的引入。条件方差指定为:
? t ? ? ? ??
2 2 t ?1

? ??

2 t ?1

d t ?1 ? ??

2 t ?1

(16.16)

其中,当 ? t ? 0 时, d t ? 1 ;否则, d t ? 0 。 在这个模型中,好消息 ?? t ? 0 ? 和坏消息 ?? t ? 0 ? 对条件方差有不同的影响:好消息有一个 ? 的冲击; 坏消息有一个对 ? ? ? 的冲击。如果 ? ? 0 ,我们说存在杠杆效应;如果 ? ? 0 ,则信息是非对称的。 估计这个模型,要以一般形式指定 ARCH 模型,但是应该点击 TARCH(asymmetric)按钮。模型中的 TARCH 项,即杠杆效应项 ?? ? 是由输出结果中的(RESID<0)*ARCH(1)项描述。

二、EGARCH 模型
EGARCH 或指数(Exponential)GARCH 模型由 Nelson(1991)提出。条件方差被指定为:
log ?

? ?? ?
2 t

? ? log ?

?

2 t ?1

?? ?

? t ?1 ?
t ?1

??

? t ?1 ?
t ?1

(16.18)

等式左边是条件方差的对数,这意味着杠杆影响是指数的,而不是二次的,所以条件方差的预测值一 定是非负的。 杠杆效应的存在能够通过 ? ? 0 的假设得到检验。如果 ? ? 0 ,则影响是非负的。杠杆效应 项 ( ? ) 在输出结果中记作 RES/SQR[GARCH](1)。

三、合成 ARCH 模型
GARCH(1,1)模型中的条件方差:
? t ? ? ? ? ?? t ? 1 ? ? ? ? ? ?? t ?1 ? ?
2 2 2

? ?

(16.22)

表示了在所有时期均值都是常数的 ? 。而合成的模型允许均值是变动的 q t :
? t ? q t ? ? ?? t ?1 ? q t ?1 ? ? ? ?? t ?1 ? q t ?1 ?
2 2 2

q t ? ? ? ? ? q t ? 1 ? ? ? ? ? ?? t ?1 ? ?
2

2 t ?1

(16.23)

此处 ? t 仍然是波动率,而 q t 代替了 ? ,它是随时间变化的长期变动。第一个等式描述了暂时分量
? t ? q t ,它将随 ? ? ? 的作用收敛到零。第二个等式描述了长期分量 q t ,它将在 ? 的作用下收敛到 ? 。
2

在 EViews 中估计合成模型,选择方程指定对话框中的 Component ARCH 或 Asymmetric Component 选项。 为了在方差方程中包括进外生回归变量,要在 Variance Regressors 栏内按以下顺序输入外生变量的名称: 首先,列出包含在长期方程中的外生变量名称,接着输入@ 标志 ,然后,列出包含在暂时方程中的外生 变量名称。例如,要把变量 hol 包括在长期方程中,把 jan,en 包括在暂时方程中,输入:hol @ jan en, 若仅把 jan 包括在暂时方程中,输入:@ jan。输出结果中的 Perm 的系数:表示长期方程的系数;Tran: 表示暂时方程的系数。

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